피타고라스 정리의 정확성을 그림으로 설명합니다.

증명 1(교과서 증명)

두 직각삼각형의 길이를 각각 a와 b로 하고 빗변의 길이를 c로 하여 합동인 직각삼각형을 만들어 보세요. , 그리고 변의 길이가 a, b, c인 정사각형 3개를 만들어 위 그림과 같이 두 개의 정사각형으로 만듭니다.

그림에서 볼 수 있듯이 이 변의 길이는 두 개의 정사각형 둘 다 a와 b이므로 면적이 동일합니다. 즉,

정리됩니다.

증명 2(Zou Yuanzhi 증명)

a와 b가 직각 변이라고 가정하고, c를 빗변으로 하여 합동인 직각삼각형 4개를 만들고, 각 직각삼각형의 넓이는 다음과 같습니다. 세 점 A, E, B는 직선 위에 있고 세 점 B, F, C는 직선 위에 있고 세 점 C, G, D는 직선 위에 있습니다.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF

∵ ∠AEH ∠AHE = 90?,

∴ ∠AEH ∠BEF = 90?.

∴ ∠HEF = 180?-90?= 90 ?.

∴ 사변형 EFGH는 변의 길이가 c인 정사각형입니다

. 면적은 c2와 같습니다.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD ∠GHD = 90?,

∴ ∠EHA ∠GHD = 90?.

또한 ∵ ∠GHE = 90?,

∴ ∠DHA = 90? 90?= 180?

∴ ABCD는 변이 b인 정사각형이고 그 넓이는 다음과 같습니다.

∴ .

증명 3(자오솽의 증명)

a와 b를 직각 변(bgt; a), c를 경사면으로 둡니다.

변이 있는 합동인 직각삼각형 4개를 만든 다음 각 직각삼각형의 넓이를 구합니다.

는 다음과 같습니다.

그림과 같이

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠ HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD ∠HAD = 90?,

∴ ∠EAB ∠HAD = 90?,

∴ ABCD는 다음과 같은 정사각형입니다. 변의 길이는 c이고 그 면적은 c2와 같습니다.

∵ EF = FG =GH = HE = b―a,

∠HEF = 90?.

∴ EFGH는 한 변의 길이가 b―a인 정사각형이고 그 넓이는 다음과 같습니다.

∴ .

∴ .

증명 4(증명됨) 1876년 가필드 미국 대통령에 의해)

a와 b를 직각변, c를 빗변이라고 하자 두 개의 합동 직각삼각형을 그리면 각 직각삼각형의 넓이는 와 같습니다. 이 두 개의 직각 삼각형을 그림과 같은 모양으로 만들어 세 점 A, E, B가 직선 위에 있도록 합니다.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED ∠ADE = 90?,

∴ ∠AED ∠BEC = 90?

∴ ∠DEC = 180 ?―90?= 90?.

∴ ΔDEC는 이등변 직각삼각형이고,

그 면적은 .

그리고 ∵ ∠DAE = 90? , ∠EBC = 90?,

∴ AD"BC.

∴ ABCD는 직각 사다리꼴이고 그 면적 등입니다.

Yu.

∴ .

∴ .

증명 5(메이 웬딩 증명)

4개의 합동 직각을 구성하십시오. 삼각형에 대해 다음과 같이 하십시오. 직각인 두 변의 길이를 각각 a와 b로 하고 빗변의 길이를 c로 하여 그림과 같이 다각형으로 만들어 D, E, F가 일직선이 되도록 하세요. C를 통해 AC의 연장선을 그립니다. 선은 점 P에서 DF와 교차합니다.

∵ D, E, F는 직선 위에 있고 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180? ―90?= 90?.

또한 ∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG는 한 변의 길이가 c인 정사각형입니다.

∴ ∠ABC ∠CBE = 90?.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD ∠CBE = 90? .

즉, ∠ CBD= 90?.

또한 ∵ ∠BDE = 90?, ∠BCP = 90?,

BC = BD = a .

∴ BDPC는 한 변의 길이가 a인 A 정사각형입니다.

마찬가지로 HPFG는 한 변의 길이가 b인 정사각형입니다.

다각형 GHCBE는 S이면

,

∴ .

증명 6(Xiang Mingda의 증명)

합동인 직각삼각형 두 개를 구축하세요 , 직각인 두 변의 길이를 각각 a, b(bgt;a)로 하고, 빗변의 길이를 c로 가정하여, 변의 길이가 c인 또 다른 정사각형을 만들어 그림과 같이 만들어 보세요. 그러면 세 점 E, A, C가 직선 위에 있게 됩니다.

점 Q를 지나서 QPʼBC를 만들고 점 P에서 AC와 교차합니다.

점 B를 통과하면 BM⊥PQ가 되고 수직 발은 M이 되며 다시 점을 통과하게 됩니다.

F는 FN⊥PQ이고 수직 발은 N입니다.

∵ ∠BCA = 90?, QPʼBC,

∴ ∠MPC = 90?,

∵ BM⊥PQ,

∴ ∠BMP = 90?,

∴ BCPM은 직사각형, 즉 ∠MBC = 90?.

∵ ∠QBM ∠MBA = ∠QBA = 90?,

∠ABC ∠MBA = ∠MBC = 90?,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

그리고 ∵ ∠BMP = 90?, ∠BCA = 90?, BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

마찬가지로 RtΔQNF ≌ RtΔAEF임을 증명할 수 있다.

이렇게 해서 문제는 증명 4(Mei Wending Proof)로 변환된다. ).

증명 7(유클리드 증명)

세 변의 길이를 a로 만들고, 정사각형 b와 c에 대해 그림과 같은 모양으로 조립하여, 세 점 H, C, B가 BF와 CD를 연결하는 직선 위에 있습니다. CL⊥DE를 통해 C를 그리고

p>

점 M에서 AB와 교차하고 점

L.

∵ AF = AC, AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB의 면적은

ΔGAD의 면적은 직사각형 ADLM의 면적과 같습니다

의 절반,

∴ 직사각형 ADLM의 면적 = .

마찬가지로 직사각형 MLEB의 면적 = .<임을 증명할 수 있다.

/p>

∵ 정사각형의 면적 ADEB

= 직사각형의 면적 ADLM 직사각형의 면적 MLEB

∴, 즉 .

증명 8(유사삼각형의 성질 증명 이용)

그림과 같이 RtΔABC에서 직각변 AC와 BC의 길이를 a와 b, 빗변 AB의 길이는 c입니다. 점 C를 지나는 CD⊥AB를 그리고 수직선은 D입니다.

ΔADC와 ΔACB에서

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?,

∠CAD = ∠BAC,

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD:AC = AC:AB,

그렇습니다.

마찬가지로 ΔCDB ∽ ΔACB임을 증명할 수 있으므로 존재합니다.

∴, 즉.

증명 9 (Yang Zuomei의 증명)

두 개의 합동인 직각삼각형을 만들고 그 두 변이 직각이라고 가정합니다. 길이는 a와 b(bgt;a)이고 빗변의 길이는 c입니다. 변의 길이가 c인 또 다른 정사각형을 그림과 같이 다각형으로 묶습니다. A를 통해 AF⊥AC를 그리고 AF는 F에서 GT와 교차하며, AF는 R에서 DT와 교차합니다. B를 통해 BP⊥AF를 그리고 수직을 그립니다. 발은 P입니다. D를 통해 DE와 CB의 연장선을 수직으로 그리세요. 수직 발은 E이고 DE는 AF와 H에서 교차합니다.

∵ ∠BAD = 90?, ∠PAC = 90?,

∴ ∠DAH = ∠BAC.

그리고 ∵ ∠DHA = 90?, ∠BCA = 90?,

AD = AB = c,

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a, AH = AC = b.

By PBCA는 직사각형이라는 것을 알 수 있는데,

∴ p>

그러므로 RtΔAPB ≌ RtΔBCA, 즉 PB =

CA = b, AP= a이므로 PH = b―a

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a, ∠GDT = ∠HDA

그리고. ∵ ∠DGT = 90?, ∠DHF = 90?,

∠GDH = ∠GDT ∠TDH = ∠HDA ∠TDH = 90?,

∴ DGFH는 변이 있는 정사각형입니다 길이 a.

∴ GF = FH = a .TF⊥AF, TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB는 직각 사다리꼴이며 위쪽 베이스는 TF=b-a, 하단 베이스 BP= b, 높이 FP=a(b-a).

숫자를 사용하여 면적 수를 나타냅니다(그림 참조). 그러면 c는 면적 변의 길이가 있는 정사각형의 길이는

①

∵ = ,

,

∴ = 입니다.

2를 ①에 대입하면

= = .

∴ .

증명 10(Li Rui의 증명)

직각을 가정합니다. 삼각형의 직각 두 변의 길이는 a와 b(bgt;a)이고, 빗변의 길이는 c입니다. 변의 길이가 a, b, c인 정사각형 3개를 만들고, 그림과 같이 세 점 A, E, G가 일직선이 되도록 모양을 만들어 보세요. (그림과 같이) 숫자를 사용하여 면적의 수를 표시하세요.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90?,

∴ ∠TBH = ∠ABE.

그리고 ∵ ∠BTH = ∠BEA = 90?,

BT

= BE = b,

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

그리고 ∵ ∠GHF ∠BHT = 90?,

∠DBC ∠BHT = ∠TBH ∠BHT = 90?,

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a,

∠HGF = ∠BDC = 90?,

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC입니다.

p>

Q를 통해 QM⊥AG를 구성하고 수직 발은 M입니다. ∠BAQ = ∠BEA = 90?에서 ∠ABE

= ∠QAM, AB = AQ = c이므로 RtΔABE / p>

∵ ∠AQM ∠FQM = 90?, ∠BAE ∠CAR = 90?, ∠AQM = ∠BAE,

∴ ∠FQM = ∠CAR.

또한 ∵ ∠QMF = ∠ARC = 90?, QM = AR = a,

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC입니다.

∵ , , ,

및 ∵ , , ,

∴

=

= ,

즉.

증명 11(절단선 정리 증명 사용)

RtΔABC에서 직각 변 BC = a, AC = b, 빗변 AB = c라고 둡니다. 그림과 같이 B를 중심으로 a를 반지름으로 하여 원을 만들고 AB와 AB를 교차시킵니다. 연장선은 각각 D와 E에 있으므로 BD = BE = BC = a이기 때문입니다. ?, 점 C는 ⋅B 위에 있으므로 AC는 ⋅B의 접선이 됩니다. 접선 정리에 따르면

=

=

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