페르마의 작은 정리
페르마의 정리(Fermat's theorem)라고도 알려진 페르마의 작은 정리(Fermat's Little Theorem)는 정수론의 기본 정리로, 소수의 배수가 아닌 정수 a를 소수 모듈로 취하면 그 거듭제곱이 된다는 뜻입니다. p- 1인 경우, 모듈로 소수의 결과는 항상 1입니다. 즉: a^(p-1)
= 1 (mod p)
여기서 p는 소수이고 a는 임의의 것입니다. 1 <= a < p인 정수.
페르마의 작은 정리(Fermat's Little Theorem)는 17세기 프랑스 수학자 페르마(Fermat)가 처음 제안한 것으로 오일러 정리, 오일러-페르마 정리의 기초가 되며 암호학, 코딩, 컴퓨터 과학 등에서 널리 사용된다. 필드.
페르마의 작은 정리는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다. k가 양의 정수라고 가정하면 다음과 같습니다.
k=1일 때 a ^0 ñ 1 (mod p), 결론이 확립된다.
k>1일 때 a^(p-1) DF 1(mod p)이 성립한다고 가정하면 다음과 같습니다.
a^(kp-k) EMA^ (p-1))^k * a^(-k) ‚ 1^k * a^(-k) ‚ a^(p-1)
* a^(-k) DF a ^(p-1-k) (mod p)
따라서 k>1일 때 a^(kp-k) Д a^(p-1-k)
(mod p)가 설정됩니다.
p는 소수이고 a는 p의 배수가 아닌 정수이기 때문에 a와 p는 상대적으로 소수, 즉 공약수가 없습니다. 오일러의 정리에 따르면, a^(ψ(p)) DF 1 (mod p), 여기서 ψ(p)는 p보다 작고 p에 상대적으로 소인 양의 정수의 수를 나타내므로 ψ(p)< /p >
≤ p-1.
산술의 기본 정리에 따르면 p는 소수이므로 ψ(p) = p-1이므로 다음과 같습니다.
a^(p-1) EMA 1 (mod p)
페르마의 작은 정리(Fermat's Little Theorem)는 널리 사용되고 있으며, 그 중요한 응용 분야 중 하나가 암호학입니다. 암호화 알고리즘에서 두 개의 큰 소수 p와 q를 선택하고 그 곱 pq를 공개 *** 모듈러스로 곱하고 정수 e를 공개 키로 선택하여 e가 (p-1) *
(q-1)은 상대적으로 소수이고, d*e EMA 1
(mod (p-1) * (q-1이 되도록 정수 d를 개인 키로 선택합니다. )), Fermat의 Little Theorem을 사용하여 암호화 및 복호화를 효율적으로 처리할 수 있습니다.